Mar 21, 2016 — Wat is de rol van waarschijnlijkheid bij confirmatie? Woord. Oorsprong. Betekenis probabiliteit probable. Middel-Frans probabilité (~1370):
9 pages
149 KB – 9 Pages
PAGE – 1 ============
1 AT KAN GEEN TOEVAL ZIJN W AARSCHIJNLIJKHEID VAN OBJECTIEVE KANSEN TOT SUBJECTIEVE GRADEN VAN OVERTUIGING 21 maart 2016 Lessen voor de 21 ste eeuw Prof. dr. Sylvia W ENMACKERS Hoger Instituut voor Wijsbegeerte Wet van de waterkans: vaak is het zeker dat er iets onwaarschijnlijks zal gebeuren 2011 2015 Dit is een belangrijke levens – les voor mij waar ik met plezier 1. W AARSCHIJNLIJKHEID VOOR HET LEVEN ( EN DE WETENSCHAP ) But to us, probability is the very guide of life J. Butler (1736) Waarschijnlijkheid in verschillende contexten Waarschijnlijkheid in verschillende contexten Doel van waarschijnlijkheidstheorie: Op rationele manier omgaan met onzekere informatie. Veralgemening van logica (niet deductief, maar inductief). Ook kwantitatief: waarschijnlijkheidsrekening. Kernvraag: Wat is waarschijnlijkheid? Mathesis Historie
PAGE – 2 ============
2 2. H ISTORISCHE INLEIDING Van gokken naar rekenen Historie Het is opmerkelijk dat een wetenschap, die ontstaan is uit het beschouwen van kansspelen, zich zou verheffen tot de rang van de meest belangrijke onderwerpen van L APLACE (1814) – wisconst verwijst naar zekerheid en lange tijd werd impliciet aangenomen dat aan toevalsprocessen, gokspelen en de menselijke natuur niet te rekenen valt. 17 de eeuw: correspondentie tussen Pascal en Fermat Blaise Pascal (1623 1662) Pierre de Fermat (1601 1665) ? Pierre – Simon de Laplace (1749 1827) te groter de nood aan onderbouwing ervan L APLACE (1814) Stelling van Bayes: gepubliceerd in 1763
PAGE – 3 ============
3 19 de eeuw: opkomst statistiek Gauss: foutentheorie in de astronomie Legendre: kleinste – kwadratenmethode Galton: standaarddeviatie, correlatie, regressie Quetelet: begrip van de gemiddelde mens, voorloper sociologie Maxwell en Boltzmann: kinetische gastheorie, voorloper statistische fysica 20 ste eeuw: klassieke statistiek Toetsen van hypotheses, bepalen van p – waarde Karl Pearson (1857 1936) Ronald Fisher (1890 1961) Jerzy Neyman (1894 1981) 20 ste eeuw: Kolmogorov (1903 1987) maattheorie voor waarschijnlijkheid 3. I S WAARSCHIJNLIJKHEID EEN EIGENSCHAP VAN DE WERELD ? Of zit het enkel in ons hoofd? Etymologie . 7.3 Wat is waarschijnlijkheid? Wat is de rol van waarschijnlijkheid bij confirmatie? Woord Oorsprong Betekenis probabiliteit probable Middel – Frans probabilité ( 1370): eigenschap van probable te zijn ; vanaf 1705: ook in wiskundige context , van klassiek Latijn – , : schijn van waarheid , waarschijnlijkheid , van Latijn : wat bewezen kan worden , van probare : proberen , testen , goedkeuren , goedmaken , van probus : goed . Vergelijk : Engels probability , Spaans probabilidad (>1350), Italiaans probabilità (>1540). De eigenschap of het feit van aantoonbaar te zijn; de schijn van waarheid, of waarschijnlijkheid om gerealiseerd te worden, die elke uitspraak of gebeurtenis heeft in het licht van de gegeven evidentie. Demonstreerbaar ; waardig van aanvaarding of geloof ; geloofwaardig of plausibel ; het hebben van het aanschijn van waarheid . waarschijnlijk Latijn verisimilis ook likelihood Lijkend op waarheid random Oud – Frans randir : snel lopen , galloperen . Gebrek aan richting stochastisch Grieks Mikkend op een gegeven richting aleatoir Latijn aleatorius , van aleator : dobbelspeler , van alea : dobbelsteen . Onzeker ; wisselvallig ; afhankelijk van onzekere contingenties ; willekeurige uitkomsten , zoals bij dobbelstenen haphazard : – hap – hazard – Oud – Noors happ : kans , geluk , fortuin , lot. – Arabische naam van een kasteel Ain Zarba Palestina ; werd geassocieerd met een dobbelspel : (h) azart . – Geluk , fortuin – Willekeurige uitkomsten zoals bij dobbelstenen + ongeluk kans ( Laat ) Latijn cadentia : vallend , van Latijn cadere : vallen . Onverschillig lot ; de manier waarop dingen uitvallen Vergelijk ook toeval Twee gezichten van waarschijnlijkheid Ian Hacking Waarschijnlijkheid is: – hierbinnen in ons hoofd – subjectief – epistemisch begrip – (mate van geloof) – in de rechtbank Waarschijnlijheid is: – daarbuiten in de wereld – objectief – een fysische grootheid: in principe meetbaar – – in de natuurwetenschap
PAGE – 4 ============
4 Klassieke interpretatie Demon van Laplace comprehend all the forces by which nature is animated and the respective situation of the beings who compose it an intelligence sufficiently vast to submit these data to analysis it would embrace in the same formula the movements of the greatest bodies of the universe and those of the lightest atom; for it, nothing would be uncertain and the Deterministisch wereldbeeld Wij (met onvolledige informatie en beperkte rekenkracht ) hebben toch waarschijnlijkheid nodig : epistemisch (1834 1923) Eindige relatieve frequenties (fracties): louter empirisch John Venn Frequentie – interpretatie: van Venn tot Von Mises Richard von Mises (1883 1953) Beschouw relatieve frequentie binnen oneindige referentieklasse Hedendaagse handboeken: P = limiet van relatieve frequenties (sterke) wet van de grote aantallen bij Bernoulli – experimenten: Met waarschijnlijkheid 1 geldt dat de limiet van relatieve frequenties gelijk is aan de bias. Objectieve single – case kans ( propensity ) Propensity – interpretatie (o.a. Popper) vooral populair in context van kwantummechica, maar Lewis merkt op dat deze interpretatie ook daarbuiten courant is: Graden van overtuiging Een graad van overtuiging ( credence ) is een mentale houding die gekwantificeerd kan worden op een schaal van 0 tot 1. Synchrone voorwaarde op rationaliteit Graden van overtuiging (op een gegeven moment) waarschijnlijkheidsrekening (coherentie). Diachrone voorwaarde op rationaliteit Zodra er nieuwe evidentie is moeten alle graden van overtuiging herzien worden (conditionaliseren: regel van Bayes). Coherence Conditioning Credence Subjectieve interpretatie: neo – Bayesianisme 4. W ISKUNDIGE BASISREGELS anders dan gezond verstand herleid Laplace (1814) Mathesis Wiskundige basis Uitkomstenruimte: verzameling Verzameling van alle elementaire mogelijke uitkomsten. Voorbeeld: – Eén worp met een gewone dobbelsteen = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
PAGE – 5 ============
5 Wiskundige basis Uitkomstenruimte, Voorbeeld: worp met een gewone dobbelsteen . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 Wiskundige basis Gebeurtenisruimte, A ( ) Voorbeeld van een deelverzameling van . . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 Verband tussen verzamelingen en waarschijnlijkheden Doorsnede Unie Complement A B A B A P(A B P( A)=1 P(A) EN OF NIET Wiskundige basis A A A Basisregels Regel 1 Zekerheid P ( ) = 1 (Er moet iets gebeuren.) Basisregels Regel 2 Waarden tussen 0 en 1 Voor elke gebeurtenis A : 0 P ( A ) 1 A Basisregels Regel 3 Basis – somregel Voor twee gebeurtenissen A en B : P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) op voorwaarde dat A B = A B
PAGE – 6 ============
6 Definitie: P ( e | h ) (= waarschijnlijkheid van e , gegeven h ) Voor twee gebeurtenissen e en h (waarbij P ( h ) niet 0 is) : P ( e | h ) = P ( e h ) / P ( h ) Voorwaardelijke waarschijnlijkheid e e h h Stelling van Bayes (eigenlijk Laplace) Definitie van voorwaardelijke kans: P( e | h ) = P( e h ) / P( h ) P( h | e ) = P( e h ) / P( e ) P( e | h ) P( h ) = P( e h ) = P( h | e ) P( e ) P( h | e ) = P( e | h ) P( h ) / P( e ) Stelling van Bayes ( waarbij P( e ) niet 0 is) P( h | e ) = posterior waarschijnlijkheid van de hypothese P( e | h ) = likelihood van de hypothese P( h ) = prior waarschijnlijkheid van de hypothese P( e ) = waarschijnlijkheid van de data (mag niet 0 zijn ) h staat voor hypothese e voor evidentie Wiskundige basis (incl. stelling Bayes) Bijzonder: Dezelfde regels gelden voor objectieve kansen en voor subjectieve graden van overtuiging! Voor het eindige geval is er grote consensus. Discussie is er wel over volgende punten (1) Oneindige uitkomstenruimte Kolmogorov legt een extra voorwaarde op de gebeurtenisruimte en op de somregel (sigma – additiviteit). Dit deel van de theorie wordt niet algemeen aanvaard. – Bijvoorbeeld de Finetti houdt het bij eindige additiviteit. – Eigen werk: andere vorm van oneindige additiviteit. (2) elementaire gebeurtenissen? Kolmogorov had ook een andere theorie. (3) Belang van Bayes in epistemologie Neo – Bayesianisme Regel van Bayes Aanvankelijk heb je graden van geloof volgens waarschijnlijkheidsfunctie P . (Dit is de prior.) Wanneer je evidentie e krijgt, dan moet je al je graden van overtuiging herzien (naar posterior). Voor alle hypothesen h : P nieuw ( h ) = P( h | e ). Diachrone voorwaarde op rationaliteit Dit is de regel van Bayes. (Rechterlid te berekenen via stelling van Bayes.) Conditioning 6. P SYCHOLOGISCHE ASPECTEN
PAGE – 8 ============
8 Gegeven Kans op vals negatief is 0: P( e | h) = 0 P(e | h) = 1 Kans op vals positief is 0.05: P(e | h) = 0.05 Prevalentie van de ziekte is 0.001 + willekeurig persoon : P(h) = 0.001 P( h) = 0.999 Gevraagd Kans dat een willekeur gekozen persoon ziekte Z heeft , gegeven dat het testresultaat positief is = ? P(h | e) = ? Oplossing: pas stelling van Bayes toe P(h | e) = P(h) / [P(h) + P( h) ( P(e | h) / P(e | h) )] = 0.001 / [0.001 + 0.999 (0.05 / 1)] = 0.0196 Zaak Lucia de B. Verpleegkundige Lucia de Berk werd verdacht van meerdere moorden en pogingen tot moord op ziekenhuispatiënten. De zaak liep in Nederland (2001 2010). Verhaal werd verfilmd (2014). Zaak Lucia de B. Wetenschapsfilosoof Ton Derksen schreef boek over de zaak en benoemt 4 denkfouten die aan de basis liggen van deze gerechtelijke dwaling: Coïncidentie – argument Lucia het gedaan hebben. nadere berekening uit. We kennen inmiddels voorbeelden van verpleegkundigen die ook vele sterfgevallen tijdens hun diensten hebben meegemaakt, en ook even onwaarschijnlijk, maar ook gewoon voorkomend een verpleegkundige die in 20 jaar nooit een sterfgeval tijdens Bron: http://www.luciadeb.nl/boek.html Drogreden van de aanklager In gewone spraak worden P ( h | e ) en P ( e | h ) al te makkelijk verwisseld. De stelling van Bayes maakt meteen duidelijk dat deze twee waarschijnlijkheden doorgaans niet gelijk zijn: P ( h | e ) = P ( e | h ) P ( h ) / P ( e ) Als we als hypothese h dan berekende deskundige in zaak Lucia de B. enkel P ( e | h ) = 1 / 342*10 6 , maar dit werd (soms) foutief geïnterpreteerd als waarde voor P ( h | e ) . Bayesiaanse kijk op rechtspraak (Sjerps) Waarschijnlijkheid van 2 hypotheses vergelijken: H p : hypothese van aanklager (prosecutie; vb schuldig) H d : hypothese van verdediging (defensie; vb onschuldig) P( H p | E)/P( H d | E) = P(E | H p )/P(E | H d ) P( H p )/P( H d ) . Zie ook: http://www.kennislink.nl/publicaties/forensische – statistiek Posteriors: wil rechter uiteindelijk weten Likelihood ratio (LR): input deskundige Priors: moet rechter vooraf bepalen Bayesiaanse kijk op rechtspraak (Sjerps) Waarschijnlijkheid van 2 hypotheses vergelijken: H p : hypothese van aanklager (prosecutie; vb schuldig) H d : hypothese van verdediging (defensie; vb onschuldig) P( H p | E)/P( H d | E) = P(E | H p )/P(E | H d ) P( H p )/P( H d ) . Zaak Lucia de B.: De berekening die de deskundige maakte was enkel: P( E|H d )=1/342miljoen . Dit is maar een deel van het verhaal ! Posteriors: wil rechter uiteindelijk weten Likelihood ratio (LR): input deskundige Priors: moet rechter vooraf bepalen
PAGE – 9 ============
9 Valkuilen en remedies bij de zaak Lucia de B. – Details berekening van P ( e | h ) zijn bekritiseerd, maar er is meer – De keuze van de evidentie e werd achteraf bepaald, zodanig dat concentratie incidenten zo hoog mogelijk werd. Sharpshooter fallacy Hierdoor is gepresenteerde P ( e | h ) niet noodzakelijk relevant. – Het kan geen toeval zijn hoogst onwaarschijnlijke dingen. Wet van de waterkans – statistisch argument officieel uit bewijsvoering werd gehaald. – Blindstaren op numerieke info (vals gevoel van zekerheid); arts Metta De Noo is blijven benadrukken dat alle patiënten zeer ziek waren. – P ( h | e ) en P ( e | h ) werden (soms) verwisseld. Drogreden vd aanklager – P ( h ) werd niet in rekening gebracht. Base rate neglect Nochtans is prevalentie van seriemoordenaars onder verplegend personeel zeer laag. Onthoud deze waarschuwing van Laplace (1814): Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716) Waarschijnlijkheid en rechtspraak: de droom van Leibniz Waarschijnlijkheid en rechtspraak: Tot slot Deze vraag veronderstelt dat kans bestaat . Maar klopt dat wel ? Ronald Meester probeerde aan een rechter in de zaak Lucia de B. uit te leggen dat kans niet bestaat , maar dit antwoord werd niet begrepen . Toch denk ik dat hij gelijk had. Elke waarschijnlijkheid is voorwaardelijk . Ook zogenaamde onvoorwaardelijke waarschijnlijkheden hangen af van ( vaak stilzwijgende ) aannames en modelkeuzes . Er bestaat niet zoiets als een waarschijnlijkheidsmeter Dat is mijn belangrijkste les voor de 21 ste eeuw . Prof. dr. Sylvia Wenmackers http://www.sylviawenmackers.be/blog @SylviaFysica te groter de nood aan onderbouwing ervan L APLACE (1814) Elke waarschijnlijkheid is voorwaardelijk . Wet van de waterkans: vaak is het zeker dat er iets onwaarschijnlijks zal gebeuren.
149 KB – 9 Pages